Eular 定理

对于一个多面体 P，我们定义

  • v：定点数
  • e：棱边数
  • f：面数

Eular 定理：$v+f-e = 2$

但是满足这个定理的多面体是有条件的：

  • P 的任何两个顶点可以用一串棱相连接
    • 反例：中空的立方体
  • P 上任意由直线段构成的圈，把 P 分割成两片
    • 反例：螺帽柱状体

Eular 定理证明：我们首先来看看树形，这个在图论里面常常出现，树有个性质就是 $v-e=1$，我们可以尝试用一棵树 T 来表示一个多面体，表示的方法是，树中的点就是 P 中的点（树 T 中的点囊括了所有 P 的点），树中的边就是 P 中的棱（边只是一部分的棱哦）。

然后我们来构造 T 的一种对偶，称为 $\Gamma$，$\Gamma$ 也是一颗树后面会证明，只不过这棵树的点由 P 中面的中心点来表示（也就是用来表示面的数量），这样面与面之间的边在多面体中是可以有一个曲折的，可以想象一下。。

上面采用这个形式只是因为这样构造能囊括所有的面，下面来证明一下这个 $\Gamma$ 是树，而且曲折所在的棱刚好是 T 的边对于 P 中棱的补集：

  • 连通性：如果 $\Gamma$ 的某两个顶点不能用 $\Gamma$ 内的一串棱连接，则它们必然被一个圈分开。由于 T 不含任何圈，$\Gamma$ 必然联通。
  • 无圈：如果 $\Gamma$ 有圈，那么就会把顶点分开成两份，T 中的棱想要连接所有顶点就不可避免的要触碰到这个圈，所以 $\Gamma$ 无圈
  • $T,\Gamma$ 包含所有棱：假设一条棱没有被用着，这个棱本可以这样被用：棱两侧的面中点相连（$\Gamma$），或者棱两端的点相连（T），但是都没用着，这样 $\Gamma ,T$ 就会在后面相交。。（这是我的数学直觉，书上并没有这个的证明，我自己补的。。。不是很严谨。。。）

最后我们有 $v(T) - e(T) = 1$, $v(\Gamma) - e(\Gamma) = 1$, 加起来有

同时，根据构造有

其他的证明方式可以用数学归纳法

拓扑等价

我们考虑一个正四面体未冲气的气球，我们把它吹胖，吹成了一个圆形。

这样多面体的点和球面的点之间的对应就是拓扑等价或同胚的一个例子，确切的说就是一对一的连续满映射